Александр Зацепин родился 10 марта 1926 года в Новосибирске. Во время учебы в старших классах средней школы окончил курсы киномехаников, трактористов, увлекался радиотехникой, посещал секцию гимнастики, учился игре на фортепиано, организовал небольшой джаз-оркестр. После школы поступил в Новосибирский институт инженеров железнодорожного транспорта, но был исключен за неуспеваемость и призван на воинскую службу. В армии участвовал в самодеятельности и был переведен в Ансамбль песни и пляски Новосибирского военного округа. Так началась его музыкальная карьера.
После службы Зацепин окончил Алма-Атинскую консерваторию (ныне Казахская национальная консерватория им. Курмангазы) по классам фортепиано и композиции. Работал музыкальным оформителем на киностудии "Казахфильм", написал музыку к комедии Шакена Айманова "Наш милый доктор" (1957). Песня "Надо мной небо синее, облака лебединые" принесла композитору первую известность.
В 1958 году Зацепин переехал в Москву, где познакомился с кинорежиссером Леонидом Гайдаем. В 1965 году на экраны вышел его фильм "Операция "Ы" и другие приключения Шурика" с музыкой Зацепина. После этого они работали вместе почти на всех комедиях режиссера: "Кавказская пленница", "Бриллиантовая рука", "Двенадцать стульев", "Не может быть!", "Иван Васильевич меняет профессию" и других. Песни для этих фильмов были написаны Зацепиным вместе с поэтом Леонидом Дербеневым. За 30 лет совместной работы этот творческий тандем создал около 100 песен, в числе которых "Постой, паровоз", "Песенка про медведей", "Остров невезения", "Песня про зайцев", "Губит людей не пиво...", "Есть только миг", "Ищу тебя".
Соавторами Зацепина были также Юрий Энтин и Игорь Шаферан.
На счету Зацепина музыка более чем к 100 фильмам. Среди них: художественные картины "Красная палатка" (1969, режиссер Михаил Калатозов), "Земля Санникова" (1973, Альберт Мкртчян и Леонид Попов), "Капитан Немо" (1975, Василий Левин), "31 июня" (1978, Леонид Квинихидзе), мультипликационные "Фильм, фильм, фильм" (1967, Федор Хитрук), "Ну, погоди!" (1971, 2-й выпуск, Вячеслав Котеночкин), "Тайна третьей планеты" (1980, Роман Качанов). Также написал несколько мюзиклов, музыку к спектаклям и другим постановкам, создал ряд инструментальных произведений.
В 1970-х годах композитор написал несколько песен для Аллы Пугачевой, которая тогда начинала свою сольную карьеру. Это ставшие шлягерами "До свиданья, лето", "Любовь одна виновата", "Волшебник-недоучка", "Этот мир придуман не нами", "Куда уходит детство?" и другие. В 1977 году они вместе работали над музыкальным фильмом "Женщина, которая поет". Песни Зацепина в свой репертуар включали и другие исполнители и актеры: Валерий Ободзинский, Майя Кристалинская, Аида Ведищева, Олег Даль, Андрей Миронов, Олег Анофриев, Татьяна Анциферова, Лариса Долина, Иосиф Кобзон, София Ротару. Всего он написал более 300 песен и романсов.